VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1

Matěj si na začátku srpna připravil částku, ze které po celý srpen platil všechny výdaje. Ve skutečnosti z ní utratil 15 % za jídlo, nájemné ho stálo o 200 % více než jídlo a za dopravu vydal o 60 % méně než za nájemné. Jiné výdaje Matěj v srpnu neměl, a zbytek připravené částky tedy uspořil.

(CZVV)

1 Vypočtěte, kolik procent částky připravené na srpen Matěj uspořil.

2 Pro a,b,c∈Ra,b,c \in R je dán vztah:

2a+ab2+3c=02a+ab^2+3c=0

Vyjádřete z tohoto vztahu neznámou aa.

3 Pro x∈R\{0}x \in R \backslash \{0\} zjednodušte:

(x2+10xx−1)÷5x=\left(\frac{\frac{x^2+10}{x}}{x}-1\right) \div \frac{5}{x}=

V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.

4 V oboru R řešte:

x−2x2+2x+2xx+2=1\frac{x-2}{x^2+2x}+\frac{2x}{x+2}=1

V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.

5

5.1 Pro n∈Nn \in N upravte na mocninu o základu 64:

8⋅64n=8 \cdot 64^n=

5.2 Pro n∈Nn \in N vyjádřete výrazem ve tvaru jediné mocniny:

20 % z 25225^2

6 Předpis funkce ff definované pro všechna přípustná x∈Rx \in R je:

y=log10(8−2x)−log10(2−x)y = log_{10}(8-2x) - log_{10}(2-x)

Určete všechna x∈Rx \in R, pro která je hodnota funkce ff rovna 1. V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7

Funkce g:y=axg: y=a^x se základem a∈R+\{1}a \in R^+ \backslash \{1\} je definována pro všechna x∈Rx \in R. Její graf prochází bodem A[−2;4].

alt text

(CZVV)

7

7.1 Zapište souřadnici b2b_2 bodu B[2;b2b_2] grafu funkce gg.

7.2 V kartézské soustavě souřadnic Oxy sestrojte graf funkce 𝑔𝑔.

V záznamovém archu obtáhněte vše propisovací tužkou.

8

Funkce h:y=−(x+6)2+4h:y=-(x+6)^{2}+4 s definičním oborem R je v jednom ze dvou intervalů (−∞;p⟩, ⟨p;+∞) klesající a ve zbývajícím je rostoucí (p∈Rp \in R).

Z obou intervalů vyberte ten, v němž je funkce hh rostoucí, a zapište jej s konkrétním číslem pp.

9 V rostoucí aritmetické posloupnosti (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^\infty je pátý člen a5=0a_5=0.

Vypočtěte, kolikrát je dvacátý člen a20a_{20} větší než desátý a10a_{10}.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10

Na 100 km jízdy spotřeboval automobil A 7 litrů benzinu a automobil B o xx litrů benzinu méně než automobil A.

Cena benzinu byla 40 Kč za litr.

(CZVV)

10

10.1 Vypočtěte v Kč průměrné výdaje za benzin na 1 kilometr jízdy automobilu A.

Výsledek nezaokrouhlujte.

10.2 V závislosti na xx vyjádřete v Kč průměrné výdaje za benzin na 1 kilometr jízdy automobilu B.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 11–12

V kartézské soustavě souřadnic Oxy jsou umístěny rovnoběžné přímky p, q.
Přímka p protíná souřadnicové osy v mřížových bodech A, B.
Přímka q prochází bodem Q[−6;4].

alt text

(CZVV)

11 V parametrickém vyjádření přímky p doplňte pravou stranu první rovnice.

p:x=,y=0+5t,t∈R\begin{aligned} p:&x = \qquad\quad,\\ &y = 0 + 5t, t \in R \end{aligned}

12 Zapište obě souřadnice průsečíku D přímky q se souřadnicovou osou y.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 13

Stavba má tvar pětibokého kolmého hranolu s výškou 5 metrů. Na obrázku je zakreslena podstava ABCDE tohoto hranolu.

alt text

(CZVV)

13 Vypočtěte

13.1 v m2 obsah boční stěny hranolu, která obsahuje podstavnou hranu BC,

13.2 v m3 objem hranolu.

Výsledky zaokrouhlete na celá čísla, dílčí výpočty nezaokrouhlujte. V záznamovém archu uveďte v obou částech úlohy celý postup řešení.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 14

Čtvercový pozemek má stejnou výměru (obsah) jako obdélníkový pozemek.

Obdélníkový pozemek má jednu stranu o 35 % kratší než čtvercový pozemek a druhou stranu o 140 metrů delší než čtvercový pozemek.

alt text

(CZVV)

14 Užitím rovnice nebo soustavy rovnic vypočtěte v metrech obvod čtvercového pozemku.

V záznamovém archu uveďte celý postup řešení (popis neznámých, sestavení rovnice, resp. soustavy rovnic, řešení a odpověď ).

15 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (15.1–15.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

15.1 Nerovnice (x−3)(3−x)≥0(x-3)(3-x)\geq0 má v oboru R více než jedno řešení.

15.2 Řešením nerovnice (x+4)(x+4)≥0(x+4)(x+4)\geq0 v oboru R je každé reálné číslo.

15.3 Množinou všech řešení nerovnice x−22−x>0\frac{x-2}{2-x}>0 v oboru R je prázdná množina.

16 Vektor u⃗=(3;u⃗2)\vec{u}=(3;\vec{u}_{2}) je kolmý k vektoru w⃗=(−3;1)\vec{w}=(-3;1).

Jaká je velikost vektoru u⃗\vec{u} ?

A)

3103\sqrt{10}

B)

10\sqrt{10}

C)

10

D)

3

E)

jiná velikost

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 17

Všechny čtyři vrcholy kosočtverce ABCD leží na souřadnicových osách kartézské soustavy souřadnic Oxy. Pro vrcholy A, B kosočtverce platí, že orientovaná úsečka AB je umístěním vektoru v⃗\vec{v} =(12;5).

(CZVV)

17 Jaký je obsah kosočtverce ABCD?

A)

52

B)

60

C)

120

D)

169

E)

jiný obsah

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 18

Nad pískovištěm je natažena stínicí plachta tvaru čtyřúhelníku,
který se skládá ze dvou trojúhelníků – bílého a šedého. Šedý trojúhelník je rovnoramenný a pravoúhlý.

alt text

(CZVV)

18 Jaký je obsah šedého trojúhelníku?

A)

10,0 m2

B)

10,4 m2

C)

13,0 m2

D)

13,5 m2

E)

14,0 m2

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 19

Papírový klobouk se skládá ze tří částí – střechy, koruny a krempy.

Střechu tvoří kruh, který je horní podstavou rotačního válce.

Koruna je pláštěm tohoto válce a jejím rozvinutím
by vznikl obdélník o rozměrech 60 cm a 30 cm,
druhý rozměr je výškou válce.

Krempa má tvar mezikruží o šířce 5 cm.

Klobouk byl vyroben z papíru, který je
z jedné strany modrý a z druhé bílý.

Jednotlivé části klobouku k sobě
přiléhají svými okraji a jsou sešity nití.

alt text

(CZVV)

19 Jaký je obsah všech modrých ploch klobouku?

Výsledek je zaokrouhlen na celé cm2.

A)

2 086 cm2

B)

2 465 cm2

C)

4 472 cm2

D)

4 851 cm2

E)

jiný obsah

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 20

Předpis funkce hh definované pro všechna x∈Rx \in R je:

y=2−xy=2-x

(CZVV)

20 Který z následujících grafů je pro vhodné kladné číslo 𝑝𝑝 grafem funkce ℎ v kartézské soustavě souřadnic Oxy?

A)

alt text

B)

alt text

C)

alt text

D)

alt text

E)

alt text

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 21

Mozaika je tvořena řadami stejných ornamentů.

První řada mozaiky obsahuje 3 ornamenty.
Každá další řada obsahuje o 2 ornamenty více než předchozí řada.

Poslední řada mozaiky obsahuje 99krát více ornamentů než první řada.

alt text

(CZVV)

21 Kolik ornamentů obsahuje celá mozaika?

A)

15 000

B)

22 200

C)

29 700

D)

30 000

E)

jiný počet

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 22

První dva členy aritmetické posloupnosti jsou zároveň prvními dvěma členy geometrické posloupnosti. Přitom první člen je o 8 menší než druhý a druhý člen je pětkrát větší než první.

(CZVV)

22 Kolikátý člen aritmetické posloupnosti je roven třetímu členu geometrické posloupnosti?

A)

žádný člen

B)

pátý člen

C)

šestý člen

D)

sedmý člen

E)

osmý člen

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 23

Ve městě se postupně ruší poštovní schránky a nové se nezřizují.

Počet poštovních schránek na konci každého kalendářního roku je vždy nižší alespoň o 12 %, ale nejvýše o 14 % počtu poštovních schránek, které byly ve městě na počátku téhož roku.

Na konci roku 2021 (tj. na počátku roku 2022) bylo ve městě 38 poštovních schránek.

(CZVV)

23 Kolik poštovních schránek se ve městě zrušilo během dvouletého období 2021 až 2022?

A)

Nelze jednoznačně určit.

B)

právě 9

C)

právě 10

D)

právě 11

E)

právě 12

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 24

Všech 15 zaměstnanců firmy je rozděleno do tří různě početných skupin.
V tabulce jsou uvedeny některé údaje o platech těchto zaměstnanců.

|Skupina|X|X|Y|Y|Y|Y|Z| |-------|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| |Počet zaměstnanců |1 |3 |2 |1 |3 |4 |1 | |Plat (v Kč)jednoho zaměstnance |22 000 |? |31 000 |? |37 000 |? |50 000 | |Průměrný plat (v Kč) zaměstnance skupiny|25 000 |25 000 |?|?|?|?|50 000 | |Průměrný plat (v Kč) zaměstnance firmy |34 000 |34 000 |34 000 |34 000 |34 000 |34 000 |34 000 |

(CZVV)

24 Jaký je průměrný plat zaměstnance skupiny Y?

A)

nižší než 27 000 Kč

B)

27 000 Kč

C)

36 000 Kč

D)

vyšší než 36 000 Kč

E)

Nelze jednoznačně určit.

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 25

V osudí je deset stejných míčků, každý je označen jedním z písmen A, B, C.
Tabulka udává rozdělení četností písmen.
Písmeno A B C
Četnost 5 2 3

Z osudí postupně po jednom vylosujeme 3 míčky, které do osudí nevracíme.
Jejich písmena zapíšeme zleva doprava v pořadí, v jakém byly míčky vylosovány.

(CZVV)

25 Ke každému jevu (25.1–25.2) přiřaďte pravděpodobnost (A–F), s níž jev nastane.

25.1 Zápis písmen vylosovaných míčků je ABC.

25.2 Zápis písmen vylosovaných míčků je BCC.

A)

14\frac{1}{4}

B)

112\frac{1}{12}

C)

120\frac{1}{20}

D)

124\frac{1}{24}

E)

160\frac{1}{60}

F)

jiná hodnota pravděpodobnosti